Matematiksel Modelleme ve Farklı Yaklaşımlar
Modelleme farklı alanlarda farklı anlamlarda kullanılan yaygın bir terimdir. Matematiksel modelleme en genel anlamda gerçek hayat durumunun matematik diline aktarılma ve matematiksel olarak ifade edilme sürecidir. Matematiksel modellemenin ilköğretim, ortaöğretim ve yükseköğretim düzeyinde matematik derslerinin içeriğinin önemli bir kısmını teşkil etmesi gerektiği fikri son yıllarda daha fazla vurgulanmaktadır. Öğrencilerin matematiği daha anlamlı ve gerçek hayatla ilişkili öğrenmelerine yardımcı olacağı varsayımı modellemenin matematik eğitiminde kullanılması gerekliliği fikrinin temel dayanağıdır. Son yıllarda matematik eğitiminin her seviyesinde matematiksel modelleme uygulamaları üzerine çalışmalar yapılmakta ve değişen müfredatlarda da modelleme uygulamalarına daha fazla yer verilmektedir (Department for Education [DFE], 1997; Ministere de l’Education Nationale, 1997; NCTM 1989; 2000; TTKB, 2005, 2011, 2013).
Model ve modelleme terimleri arasındaki anlam farkı, süreç ve ürün arasındaki anlam farkına benzer (Sriraman, 2005). Modelleme, sorunsal bir durumun modelini oluşturma sürecidir. Bu anlamda “model” bir süreç sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken, “modelleme” ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecini ifade etmektedir. Matematiksel modelleme sürecinde verilenleri kullanarak bir çözüme ulaşma, çözümü gerçek hayat durumuyla karşılaştırma, eğer yeterli değilse çözümü geliştirme veya daha farklı bir çözüm geliştirme gibi birden fazla döngü vardır. Matematiksel modelleme sürecinde bahsedilen modelleme döngüsü, yani modellemenin döngü içeren bir süreç olduğu fikri, modelleme yaklaşımlarında gözlemlenen ortak fikir olarak karşımıza çıkmaktadır (Zbiek ve Conner, 2006).
Matematiksel modellemenin tekrarlı döngü içeren bir süreç olduğu farklı kaynaklarda farklı diyagram gösterimleri ile ifade edilmektedir. Lingefjard’a (2002) göre modelleme süreci verilenleri belirleme ve sadeleştirme, problemi formülleştirme, değişkenleri belirleme, matematiksel ifadeleri formülleştirme, bir matematiksel model seçme, grafik gösterimleri kullanma ve gerçek hayat durumu ile karşılaştırarak kontrol etme gibi yedi aşamadan oluşmaktadır. Yine NCTM kaynaklarında da modelleme sürecinin lineer olmayan bir süreç olduğu ve beş temel aşmadan oluştuğu ifade edilmektedir (NCTM, 1989, s.138). Modelleme sürecindeki temel aşamalar şunlardır:
1) Gerçek hayat problemini tanımlama ve sadeleştirme;
2) Bir matematiksel model oluşturma;
3) Modeli dönüştürme, geliştirme ve çözme;
4) Modeli yorumlama;
5) Modeli doğrulama ve kullanma.
Modelleme sürecinin, bahsi geçen aşamaları tekrarlı bir döngüden oluşmaktadır.
Birinci aşamada öğrenciler problem durumunu inceleyip, verilen bilgileri belirleyerek problem durumunu anlayabilecekleri en sade hale getirirler. İkinci aşamada problem durumunu ifade edebilecek matematiksel gösterimlerden (grafik, denklem vs.) yararlanarak problemi matematiksel ifadeye aktarılar. Üçüncü aşama ise probleme matematiksel bir çözüm bulabilmek için geliştirilen matematiksel gösterimleri dönüştürme ve analiz etme sürecini içerir. Dördüncü aşamada ise öğrenciler buldukları çözümün birinci aşamada analiz ettikleri gerçek hayat durumu ile ne kadar tutarlı olduğunu incelerler. En son aşamada ise öğrenciler geliştirdikleri matematiksel modelin üzerinde çalıştıkları problem durumunu ve benzer durumları açıklamada ne kadar geçerli ve kullanışlı olduğuna karar verirler. Her bir aşamada bir önceki aşamaya geri dönme ve alternatifler üretme söz konusu olduğu için modelleme sürecinde tekrarlı bir döngü ortaya çıkmaktadır.
Lesh ve Doerr (2003a), “model oluşturma (model eliciting)” kavramını matematiksel model ve modelleme terimlerinin anlam bakımından her ikisini de içeren bir terminoloji olarak kullanmaktadır. Buna göre model oluşturma etkinliklerinin pedagojik amacı, öğrencilerin kendilerine bazı bilgileri verilmiş gerçek hayattan sorunsal bir durumun matematiksel modelini ortaya çıkarmalarına yardımcı olma ve böylece önemli matematiksel kavramların daha iyi anlaşılmasına yardımcı olmaktır (Sriraman, 2005). Modelleme sürecinde verilenleri kullanarak hedefe ulaşma sürecinde katı bir prosedür uygulaması söz konusu değildir. Bunun aksine modelleme sürecinde bir çözüme ulaşmak için verilenler ile hedef arasında birden fazla deneme-yanılma prosedürü söz konusudur (Blum ve Niss, 1991; Crouch ve Haines, 2004; Lesh ve Doerr, 2003a).
Matematiksel Model ve Modelleme
Matematiksel modelleme en genel anlamıyla matematik veya matematik dışındaki bir olayı, olguyu, olaylar arasındaki ilişkileri matematiksel olarak ifade etmeye çalışma, bu olaylar ve olgular içerisinde matematiksel örüntüler ortaya çıkarma sürecidir (Verschaffel, Greer ve De Corte, 2002). Model ve modelleme terimleri arasındaki anlam farkı, süreç ve ürün arasındaki anlam farkına benzer (Sriraman, 2005). Modelleme, sorunsal bir durumun modelini oluşturma sürecidir. Bu anlamda “model” bir süreç sonunda oluşturulmuş ürünü ifade ederken, “modelleme” ise bir durumun fiziksel, sembolik ya da soyut modelini oluşturma sürecini ifade etmektedir. Esasında matematikle ilgili herhangi bir uygulamada açık ya da örtük bir şekilde matematiksel modeller kullanılmaktadır.
Matematiksel modelleme ile ilgili çalışmalar ve bu çalışmalarda bahsedilen matematiksel modelleme tanımları ve yaklaşımları birbirinden farklı teorik temellere dayanmaktadır (Kaiser, 2006; Kaiser, Blomhoj ve Sriraman, 2006). “Matematiksel modelleme, matematiği öğretmek için bir araç mı yoksa amaç mı olmalıdır?” tartışmasında araştırmacıların durdukları nokta farklı modelleme yaklaşımlarının temel çıkış noktasıdır (Niss, Blum ve Galbraith, 2007). Her bir modelleme yaklaşımın matematik eğitimi açısından tanımı, amacı ve müfredatta uygulanma biçimi de farklılık göstermektedir. Bazı araştırmacılar modellemeyi matematik eğitiminde yapılandırmacılığın da ötesinde bir paradigma, yeni bir yaklaşım olarak benimserken, bir kısım araştırmacılar matematiksel modellemeyi gerçek hayat durumlarının matematiksel dilde ifade edilmesi, hazır verilen matematiksel yapıların, modellerin ve formüllerin gerçek hayatta uygulamaları olarak görmektedir. Modelleme ve matematiğin gerçek hayat uygulamaları, Niss ve arkadaşları (2007) tarafından uygulamalı matematik, uygulamalı problem çözme, sözel problemler, standart uygulamalar ve modelleme problemleri şeklinde sınıflandırılmıştır. Bu araştırmacılara göre matematiğin gerçek hayat uygulamaları, matematikten gerçek hayata (matematik → gerçek hayat) bir istikamet ifade ederken, modelleme ise tam tersi gerçek hayattan matematiğe (gerçek hayat → matematik) bir yönü ifade etmektedir. Birincisinde matematiksel yapılar idealleştirilmiş gerçek hayat durumlarında uygulanacak birer hazır “obje” olarak ele alınırken, ikincisinde ilgili matematiksel yapıların oluşturulması, geliştirilmesi ve genelleştirilmesini ifade eden “sürece” daha çok vurgu yapılmaktadır. Alanyazında yaygın olarak karşımıza çıkan farklı modelleme yaklaşımlarını üç ana başlık altında inceleyebiliriz. Bunlar:
1. Matematiğin gerçek hayat uygulamalarını ifade eden uygulama problemleri,
2. Öğrencilerin modelleme becerilerini geliştirmesi öngörülen sözel problemler (uygulamalı problem çözme),
3. Otantik gerçek hayat bağlamlarında öğrencilerin önemli matematiksel düşünme yapılarını, modelleri geliştirdikleri, genelledikleri ve paylaştıkları sürece vurgu yapan modelleme problemleri.
Uygulamalı matematik bağlamında modelleme
Literatüre bakıldığında araştırmacıların modellemeye çoğunlukla “uygulamalı matematik” bağlamında yaklaştıkları görülmektedir (örn. Blum ve Niss, 1991; Crouch ve Haines, 2004; Haines ve Crouch, 2001; Houston, 2002; Lingefjard, 2000). Bu yaklaşıma göre matematiksel modelleme gerçek hayatta matematiğin pratik uygulamalarını ifade etmektedir. Crouch ve Haines’e (2004) göre matematiksel modelleme öğrencilerin farklı düşüncelere, problemlere, matematiksel ve matematiksel olmayan kavramlara anlam verme aktivitesidir. Bu yaklaşımda hazır matematiksel modeller ve bunların gerçek hayat uygulamaları, matematiksel modelleme tanımının odak noktasıdır. Dolayısı ile Niss ve arkadaşları (2007), önce matematiksel kavramların verildiği daha sonra bu kavramların uygulanabileceği gerçek hayat durumları üzerine çalışılan (matematik → gerçek hayat) bir yaklaşım sunmaktadır . Örneğin önce serbest düşmede cismin yerçekimine ve zamana bağlı aldığı yolu veren formülün (x=1/2.g.t2) öğretilmesi ve bu formülü kullanarak çözülebilecek problemler üzerinde öğrencilerin çalıştırılması bunun basit bir örneği olarak kabul edilebilir. Bu yaklaşıma sahip araştırmacılar öğrencilerin matematiksel modelleme becerilerinin (mühendislik, mimarlık, ekonomi gibi alanlarda) geliştirilmesi üzerinde çalışmalar yapmışlardır. Matematiksel modelleme becerisinin kazandırılmasının öğrencilerin gelecekte problem çözme becerisi gelişmiş kaliteli işgücü potansiyeli olan bireyler olarak yetişmesini sağlayacağı düşüncesiyle, bu araştırmacılar çalışmalarında matematik eğitiminin önemli amaçlarından da biri olarak gördükleri matematiksel modelleme becerilerinin tanımı, geliştirilmesi ve ölçülmesi ile ilgili konulara odaklanmışlardır.
—–
Örnek 1: [Kertil (2008)’den alınmıştır.]
Telefonunuzla uzun bir süre görüşme yapmayı düşünüyorsunuz. Kullandığınız hattın ücret tarifesi şu şekildedir. Görüşme süresinin ilk dakikası 100 kuruştur. Devam eden süreçte her bir dakika 20 kuruş üzerinden ücretlendirilmektedir. Bu telefon görüşmesi sonunda her hangi bir t görüşme süresi için borcunuzu ifade edecek bir matematiksel model ve bir grafik gösterimi bulmaya çalışınız.
—–
Yukarıdaki soru örneği parçalı fonksiyonlar kullanılarak matematiksel çözümü yapılabilecek bir sorudur. Problem bağlamı gerçek hayattan bir durumu ifade etmekte, fakat öğrencinin neden bir matematiksel model veya grafik bulması gerektiği sorunun içerisinde tam olarak verilmemektedir. Problemin sorulma tarzı, parçalı fonksiyonlar konusu öğretildikten sonra öğrencilerin uygulama yapabilecekleri bir bağlam örneği göstermeye yöneliktir.
—-
Örnek 2: [Shternberg ve Yerushalmy (2003)’den uyarlanmıştır.]
Arabanın Durma Mesafesini Belirleyin
Bir yarış arabasının ayrıntılı test edilme sürecinde belirli bir sürede durabilme mesafesi belirlenmesi için test yapılacaktır. Arabanın ilk hızı 20 metre/saniye olarak kayda başlanan bir testte araba 10 saniye sonra durmuştur. Bu 10 saniye sürecinde araba monoton azalan bir hızla hareketine devam etmiştir. Aşağıdaki tablo arabanın hızının değişen değerlerini göstermektedir.
Zaman (saniye) Hız (metre/saniye)
0 20
2 14
4 9
6 5
8 2
10 0
Yine yukarıdaki soru incelendiğinde idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunu görmekteyiz. Öğrenciler haklı olarak, “gerçek hayatta aracın 10 saniyede gittiği yolu bulmak için neden bir matematiksel model ya da denkleme ihtiyaç duyalım?”, “metreyle ölçer buluruz” gibi eleştiriler sunabilir. Bu sorunun gerçeklik doğası ile ilgili bir durumdur. Ayrıca, soru öğrencileri matematikte integral temel fikrine yönlendirme noktasında da eksik görünmektedir. Sorunun içerdiği gerçek hayat durumu integralin uygulanabileceği idealleştirilmiş bir bağlam örneği olarak kabul edilebilir.
Bu yaklaşımda diğer modelleme yaklaşımlarında olduğu gibi modelleme sürecinin problem çözme sürecinden farklı olarak döngüsel yapısı olduğu vurgulanır. Fakat bu yaklaşım modelleme becerilerinin geliştirilmesini çok önemsemekte ve bunun için de matematiksel kavramlar öğretildikten sonra çok sayıda gerçek hayattan uygulama problemleri çözülmesini ifade etmektedir. Hatta matematik dersinden ayrı olarak bir de matematiksel modelleme dersinin olması gerektiği bile ifade edilmektedir. Kısaca bu yaklaşım, modellemeyi matematiği öğretmek için bir araçtan ziyade bir amaç olarak görmektedir.
Sözel Problemler ve Uygulamalı Problem Çözme
Öğrencilerin matematiği gerçek hayatta uygulama becerilerini geliştirmek için geçmişten günümüze sözel problemler sıklıkla kullanılmaktadır. Schoenfeld (1992) ve English (2003) gibi araştırmacılar problem çözme aktivitesinin, geleneksel sözel problem çözme aktivitesinden ve alıştırmalarından ayrılması gerektiğini söylemektedirler. Schoenfeld’e (1992) göre problem çözme aktivitesi öğrencilerin üst düzey bilişsel ve üstbilişsel süreçlerini kamçılayacak bir niteliğe sahip olmalıdır. Matematiksel problem çözme, verilenlerin, ulaşılması gereken sonucun ve sonuca ulaşmak için kullanılması gereken işlem ve prosedürün belirli olduğu bir işlemi gerçekleştirmenin ötesinde bir aktivitedir. Geçmişten günümüze kullanılan matematiksel problemler çağın ihtiyaçlarını karşılamaktan uzaktır. Reusser ve Stebler (1997) sözel problemlerin doğası sonucu öğrencilerde kitapta olan veya öğretmen tarafından sorulan her problemin çözülebilir ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel işlemleri seçmek için, anahtar kelimelere veya daha önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı didaktik kabullerin geliştiğini belirtmektedirler. Sözel problemlerde gerçek hayat durumu gibi yansıtılan durumlar esasında bir gerçek hayat durumu da değildir (Niss, Blum ve Galbraith, 2007). Bütün değişkenleri belli, idealleştirilmiş ve gerçeklikten oldukça uzak, yapay bir durum söz konusudur. Yani kısacası öğrencilerin modelleme becerilerini geliştirmesi beklenen sözel problemler bu beklentiyi karşılamaktan oldukça uzak görünmektedir.
Yine bir grup araştırmacı sözel problemleri gerçekçi matematiksel modelleme bağlamında ele almışlardır (Greer, 1997; Verschaffel ve De Corte, 1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; Verschaffel, Greer ve De Corte, 2002). Bu araştırmacılar matematikte geçmişten buyana sıkça kullandığımız sözel problemleri bir tür modelleme problemi olarak görmektedirler. Fakat yapılan araştırmalarda öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz önünde bulundurmadıkları bilinmektedir (örn. Greer, 1997; Nunes, Schliemann ve Carraher, 1993). Bu nedenle, bu araştırmacılar öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını da göz önünde bulundurma becerilerini geliştirmeyi hedeflemişlerdir. Yine kullanılan soru türleri aşağıda görüldüğü gibi geleneksel sözel problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu söz konusudur.
—
Örnek 3: [Verschaffel ve De Corte (1997)’den alınmıştır, s.584]
228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. Asansör bütün kafileyi binanın tepesine çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır?
—
Yukarıdaki problem incelendiğinde, geleneksel sözel problemlerden farklı olarak ondalıklı kesir içeren bir sonucun öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığı önemli hale gelmektedir. Gerçekçi modelleme yaklaşımı, geleneksel sözel problemlere verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da test etme becerilerini geliştirmeyi amaçlamaktadır. Yani 228’ in 24’ e bölümü sonucu kalan 12 kişi için de asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğrencilere kazandırılmaya çalışılmaktadır. Fakat bu problemler idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun içerisinde gizlenmiş şekilde ifade edilmiş biçimidir. Yani gerçek hayattan karmaşık bir durumu ifade etmekten uzak görünmektedir.
Süreci Önemseyen Modelleme Yaklaşımları
Matematiksel modellemede otantik gerçek hayat durumlarına daha çok vurgu yapan ve öğrencilerin matematiksel yapıları bu gerçek hayat durumlarını anlamlandırma ve matematikleştirme sürecinde geliştirdikleri vurgulayan iki yaklaşım bulunmaktadır. Bunlar: (1) Matematik Eğitiminde Model ve Modelleme Yaklaşımı (Lesh ve Doerr, 2003); ve (2) Gerçekçi Matematik Eğitiminin (Realistic Matematics Education, RME) matematiksel modelleme yaklaşımı (Gravemijer ve Stephan, 2002; Doorman ve Gravemeijer, 2009). Her iki yaklaşım da matematiğin öğretimi sürecinde modellemenin bir araç olduğu, yani matematiksel modelleme kullanılarak matematiğin öğretilmesi noktasında birleşmektedir. Model ve Modelleme Yaklaşımı öğrenci, öğretmen ve araştırmacı boyutlarından her birinin göz önünde bulundurulduğu, araştırma sürecini bir tür öğrenme ortamı ve materyal tasarlama süreci olarak ele alan, çok katmanlı araştırma desenleri (multi-tier design research) önermektedir. Gerçekçi Matematik Eğitimi de yeni öğrenme ortamlarının tasarlandığı, geliştirildiği gelişimsel (developmental design research) araştırma desenlerine vurgu yapmaktadır. Yani her iki yaklaşımda da gerçekçi bağlamlar kullanılarak öğrenme ortamlarının ve materyallerinin tasarlanması ortak olarak vurgulanmaktadır.
Model ve Modelleme Yaklaşımı: Lesh ve Doerr (2003) tarafından öne sürülen Matematiksel Model ve Modelleme Yaklaşımı (MMP) matematikte öğrenme, öğretme ve problem çözmeyi açıklayan kapsamlı bir teorik yaklaşım olarak öne çıkmaktadır. Lesh ve Doerr (2003b) model ve modelleme yaklaşımını yapılandırmacılığın ötesinde bir teori olarak sunmaktadırlar. Yapılandırmacı anlayışa göre zihnimizde var olan her bir bilgi veya yapı kişi tarafından bir yapılandırılma sürecinden geçmektedir. Dolayısıyla eğitimde öğrencilerin kendi bilgilerini yapılandırma süreçlerine katkıda bulunmak çok önemlidir. Ancak matematik eğitimi için düşünüldüğünde, Lesh ve Doerr’ a göre öyle kavramlar ve kurallar vardır ki herhangi bir şekilde bireyin zihninde bir yapılanma sürecine ihtiyacı yoktur. Model ve modelleme yaklaşımı zihinde var olan her bir bilginin bir yapılandırılma süreci olamayacağını (örneğin basit bilgi seviyesinde kalacak olan matematiksel formül ve kurallar), zihinsel aktivite olarak zihinde var olan birçok süreçten (sınıflama, organize etme gibi) sadece bir tanesinin yapılandırma süreci olduğunu vurgulamaktadırlar. Dolayısıyla yapılandırmacı yaklaşımın öğrenme ve zihinsel aktiviteleri sadece yapılandırma süreci ile kısıtlandırdığı düşünülmektedir. Matematik eğitiminde model ve modelleme yaklaşımı (Lesh ve Doerr, 2003b) yapılandırma sürecinden çok zihindeki oluşmuş ya da oluşacak yapılar üzerine yoğunlaşmaktadır. Matematik eğitiminin en önemli amacı öğrencilerin yaşadıkları olayları yorumlayabilecekleri zihinsel modeller geliştirmelerine yardımcı olmaktır. Modelleme perspektifi bu zihinsel modellerin öğrencilerin kendileri tarafından oluşturulduğu konusunda yapılandırmacı yaklaşımla hemfikir olmakla beraber, her zihinsel modelin yapılandırılmadığı görüşünü savunur.
Lesh ve Doerr (2003a) matematiksel düşünme sürecinde öğrencilerin kullandıkları zihinsel araçların tamamını zihinsel modeller olarak adlandırmaktadır. Zihinsel modeller farklı notasyon sistemleriyle dış dünyaya aktarılan, başka karmaşık sistemleri oluşturma, tanımlama ve açıklama sürecinde kullanılan, kuralları, işlemleri, ilişkileri ve daha farklı yapıları içeren zihindeki kavramsal sistemlerdir. Yine Lesh ve Doerr’a (2003a) göre model, karmaşık sistemleri ve yapıları yorumlamak ve anlamak için zihinde var olan kavramsal yapılar ile bu yapıların dış temsillerinin bütünüdür. Modelleme ise olayları ve problemleri yorumlama (tanımlama, açıklama veya oluşturma) sürecinde problem durumlarını zihinde düzenleme, koordine etme, sistemleştirme ve organize edip bir örüntü bulma, zihinde farklı şemalar ve modeller kullanma ve oluşturma sürecidir. Lesh ve Doerr (2003b) tarafından benimsenen yaklaşımda, matematiksel modelleme, öğretim sürecine destek amaçlı bir takım uygulama etkinliklerinin ötesinde, matematiğin öğretme ve öğrenme sürecini açıklayan bir alternatif teori olarak ele alınmaktadır. Matematiksel kavramların tarihsel gelişimine bakıldığında, günümüzde matematik derslerinde çok basitmiş gibi sunduğumuz kavramların dahi gelişmesi uzun yıllar almıştır. Öğrencilere bu kavramların hazır hap şeklinde vermek yerine, tarihsel gelişimine uygun gerçek hayat bağlamlarında, tarihsel gelişim sürecini kısmen de olsa yaşatarak verilmesi MMP’nin temel çıkış noktalarından birisidir.
Herhangi bir modelleme etkinliğinin uygulamadan önce iyi bir planlama yapılması gerektiği ifade edilmektedir. Sorunun içerdiği gerçek hayat bağlamının otantik ve amaca uygun olabilmesi için, etkinlikler oluşturulurken modelleme tasarım prensiplerinin sağlanmasına dikkat edilmelidir. Bu prensipler, öğrencilerin geleneksel matematik problemlerini çözerken yaşadıkları sorunların, geleneksel matematik problemlerindeki sınırlılıkları ortaya koyması ve buna çözüm olarak etkili matematik etkinliklerinin geliştirilmesi amacıyla bir grup araştırmacı tarafından oluşturulmuştur. Lesh, Hole, Hoover, Kelly ve Post (2000) etkili modelleme aktiviteleri geliştirmek için modelleme etkinliklerinde olması gereken özellikleri aşağıda verilen 6 başlık altında toplamışlardır.
(i) Model oluşturma prensibi: Bu prensibe uygun düzenlenmiş etkinlik öğrenciye, sorulan durum için bir çözüm olacak bir model (yapı) oluşturmaya, geliştirmeye ya da düzenlemeye ihtiyaç olduğunu hissettirebilmeli ve etkinlik sonunda da öğrenci bir model oluşturabilmelidir. Hazırlanacak olan etkinlik öğrencinin bir durumu tanımlaması, açıklaması ya da gerçekçi bir tahmin yürütmesini ve konu veya durumla ilgili düşüncelerini açığa çıkarmasını sağlamalıdır.
(ii) Gerçeklik prensibi: Modelleme etkinliği öğrencinin sahip olduğu bilgi ve deneyimleriyle anlamlı bir gerçek hayat problemini çözebilmesine olanak sağlamalıdır. Burada önemli nokta, gerçeklik algısının öğrenci ve öğretmenler (yetişkinler) de farklılık göstermesidir. Bundan dolayı etkinliklerde, öğretmenler, öğrencilerini, onlardan göstermelerini bekledikleri şekliyle sadece doğru olan düşünme şekline zorlamamalıdırlar, öğrencilerin düşüncelerini özgür bir biçimde ifade edebilmelerine ve kendi modellerini oluşturabilmelerine olanak sağlamalıdır.
(iii) Öz değerlendirme prensibi: Öğrenci, etkinlikte kendi yorumlarının ve vardığı sonuçların doğruluğunu kendi test edebileceği gibi, oluşturduğu modelin geliştirilmesine veya düzeltilmesine gerekip gerekmediğine de kendisi karar verebilmelidir. Bunun için de öğrencilerin elinin altında, ulaştıkları sonuçları test etme olanağı sağlayacak olan bilgisayar yazılımları, grafik hesap makineleri, somut materyaller gibi birçok kaynağın bulunması önemlidir. Etkinliğin amacı ve özellikleri öğrencilerin oluşturdukları modelin faydalılığını ve kalitesini kendi kendilerine değerlendirmelerine olanak sağlayacak şekilde açık olmalıdır.
(iv) Model açığa çıkarma (belgeleme) prensibi: Bu prensibe uygun şekilde hazırlanmış modelleme etkinlikleri, öğrencilerin, etkinlik boyunca problem durumuyla ilgili kendi düşünceleri ve çözüm yollarını açıkça ortaya koyacak yazılı bir doküman oluşturmalarını gerektirmelidir.
(v) Model genelleştirme prensibi: Bu prensibe dayanan modelleme etkinlikleri, öğrencinin genel bir model oluşturmasına, dolayısıyla oluşturduğu modeli benzer başka durumlarda da kullanabilmesine olanak sağlamalıdır. Etkinlikler, öğrencilerin oluşturduğu modellerin, sadece belli (özellikli) durumlarda kullanabileceği kişisel bir araç olarak değil, üzerinde değişiklik yaparak başka durumlara da uyarlayıp, başka problem durumlarının çözümünde de kullanabileceği ve diğer öğrenciler ya da ilgili gruplarla da paylaşabilir modeller geliştirmesine olanak sağlayacak şekilde oluşturulmalıdır.
(vi) Etkili örnek model (prototip) prensibi: Bu prensibe göre hazırlanmış etkinlik, öğrencilerin yapısal olarak benzer başka durumları da çözümlemekte kullanabileceği, açıklama gücü yüksek bir örnek model oluşturmasına olanak sağlamalıdır. Bu özelliklere sahip olmasının yanında problem durumu mümkün olduğunca karmaşıklıktan uzak olmalı, öğrencinin mantıklı bir cevap üretmesine olanak sağlamalıdır.
—
Örnek 4 (Örnek 2’deki sorunun yukarıdaki prensipler doğrultusunda düzenlenmiş sürümü)
Arabanın Durma Mesafesi
Hız limitinin 70 km/ saat olan bir oto yolda bir araç sağ şeritte arıza nedeniyle duran başka bir araca hafif bir şekilde arkadan çarpıyor. Duran aracın sahibi kendisi aracının 30 metre uzağına ve sürücünün 150 metre öteden görebileceği bir yere işaret reflektörü koyduğunu ve bu nedenle çarpan aracın yüzde yüz suçlu olduğunu iddia ediyor. Çarpan aracın sahibi ise reflektörü gördüğü anda frene basmasına rağmen duramadığını söyleyerek duran aracın sahibini suçlamaktadır. Suç oranlarını belirlemede çarpan aracın kaç metre önceden frene bastığı bilgisi önemli bir kriter olacaktır. Yolun yapısından dolayı herhangi bir fren izi, kayma izi bulunmuyor. Eldeki tek veri ise hemen yakında olan mobese kamerası verileridir. Fakat kamerada çarpan aracın kaç metre geriden fren yapmaya başladığı ve kaç metre sonra durduğu çok net anlaşılamamaktadır. Fakat 2’şer saniye aralıklarla çarpan aracın hız verileri mevcuttur. Bu verileri kullanarak çarpan aracın kaç metre önceden frenlemeye başladığını bulma konusunda sizden yardım isteniyor. Mobese verilerini kullanarak aracın kaç metre önce frene bastığını bulunuz ve nasıl bulduğunuzu yetkililere ayrıntılı olarak açıklayınız.
Zaman (sa.) Hız (km/sa.)
16:00 72
16:02 72
16:04 50
16:06 32
16:08 18
16:10 10,2
16:12 0
—
MMP’ye göre modelleme etkinlikleri dersin herhangi bir anında bir uygulama problemi gibi tek başına, plansız bir şekilde uygulanmamalıdır. Bir modelleme etkinliğinin uygulanması öncesinde, sürecinde ve sonrasında planlanması gereken unsurlar şunlardır. (1) Etkinlikle hedeflenen kavramlar, matematiksel fikirler önceden belirlenmeli; (2) Öğrenciler problemin bağlamına yabancı iseler bağlamın gerçekliğini ve öğrenci için anlamlılığını artırmak için bir ısındırma aktivitesi yapılmalı; (3) Uygulamanın hemen sonrasında ise modelleme sürecinde öğrencilerin geliştirdikleri modelleri kullanabilecekleri devam aktiviteleri (model-keşfetme) uygulanmalıdır (Lesh ve Doerr, 2003b). Yani MMP’ ye göre modelleme etkinlikleri öncesiyle ve sonrasıyla düşünülerek 60-90 dakikalık bir sürede iyi planlanmış, matematiksel bir ya da birkaç kavramla ilgili model geliştirmeyi sağlayacak bir düzen, sıralama içerisinde (model development sequence) uygulanmalıdır.
Gerçekçi Matematik Eğitimi ve Modelleme: Gravemeijer ve Stephan (2002) ise modellemeyi Gerçekçi Matematik Eğitimi (Realistic Mathematics Education-RME) yaklaşımıyla incelemiştir. Bu yaklaşımda otantik gerçek hayat durumları çok önemlidir. Bireyler bu otantik bağlamlar üzerinde çalışırken geliştirdikleri bilişsel kazanımlar süreçte ortaya çıkan ve gelişen modeller olarak ele alınmaktadır. Bu araştırmacılar modellemeyi bağlamsal, gerçek hayat problemlerini ya da durumlarını matematik diline çevirmek değil, eylemleri, aktiviteleri öğrencilerde zihinsel modellerin gelişmesini sağlayacak şekilde organize etme olarak ele almaktadırlar. Gelişen, ortaya çıkan modelleme (Emergent Modeling) olarak ta bilinen bu yaklaşım uygun gerçek hayat durumları, bağlamları kullanılarak öğrencilerin matematiksel düşünme yapılarını ve kavramlarını somuttan soyuta, biçimsel olmayandan daha biçimsel boyuta taşıyabilecekleri uygun öğrenme ortamları tasarlama sürecini açıklamaktadır. Bu yaklaşım matematiksel modellemeyi, diğer yaklaşımlardan farklı olarak, öğretim tasarımı (instructional design) perspektifinden ele almaktadır. Örneğin MMP yaklaşımı matematikte bir kavrama özel bir model geliştirme sıralama tasarımından (model development sequence) bahsederken, bu yaklaşım daha geniş bir bakış açısıyla, seçilen bir ya da birkaç gerçek hayat durumu üzerinden bütün konuyu kapsayacak şekilde bir modelleme sürecini önermektedir. Örneğin Thompson (2007) çalışmasında lunaparklardaki dönme dolap bağlamını kullanarak tasarladığı bir ders kapsamında trigonometrideki bütün kavramları öğretmeyi amaçlamış ve öğrencilerde daha anlamlı ve kalıcı bir öğrenmenin gerçekleştiğini raporlamıştır.
Bu yaklaşımda da gerçek hayat durumlarının karmaşıklığı vurgulanmaktadır. Buradaki gerçek hayat bağlamı geleneksel sözel problemlerdeki gibi idealleştirilmiş bağlamlar değildir. Otantik gerçek hayat bağlamlarından söz edilmektedir. Bu yaklaşımda modelleme etkinliklerinin amacı öğrencilere sahip olduğu bilgilerle çözümler ürettirmesi ve çözüm sürecinde öğrencinin zihninde biçimsel olmayan (informal) modeller oluşmasını sağlamak ve oluşan bu biçimsel olmayan modelleri geliştirmektir. Soyut matematiksel düşünmeye geçiş sürecinde modellerin ve modellemenin rolünün değişmesi söz konusudur. İlk başta öğrenciye bir gerçek hayat durumu, problemi verildiğinde öğrenci bu gerçek hayat durumunun bir modelini oluşturacaktır (model of). Daha sonraki aşamalarda oluşturulan bu model değişerek ve gelişerek daha soyut ve formel matematiksel modellere dönüşecektir (model for). Oluşan bu soyut modeller sayesinde öğrenci artık bu problemi çözmek için problemin modelini (model of) değil zihninde oluşturduğu soyut modeli (model for) kullanarak probleme çözüm üretecektir. Zihindeki bu iki model (model of – model for) arasındaki süreç somuttan soyuta doğru bir gelişimi ifade etmektedir. Daha gelişmiş matematiksel düşünme becerisi için modelleme sürecinde zihinde soyut modele (model for) ulaşmak asıl hedeftir. Modelleme etkinliklerinin tek başına dersin faklı kısımlarında bir uygulama problemi gibi kullanılmasından ziyade, bu yaklaşımda, gerçek hayat durumlarından seçilen uygun öğrenme ortamlarının öğrencilere yaşatılması vurgulanmaktadır. Nitekim bu teorik perspektifi kullanan farklı matematik konularında çok sayıda çalışma mevcuttur (örn. Doorman ve Gravemeijer, 2009; Herbert ve Pierce, 2008; Thompson, 2007). Bu çalışmaların ortak yönü geleneksel nitel ve nicel araştırma desenleri yerine dizayn çalışması (design research) yaklaşımını kullanmalarıdır.
Matematiksel Model ve Modelleme: Genel Değerlendirme
Matematik eğitimcilerini matematiksel modelleme üzerinde çalışmaya yönlendiren temel nedenler “Öğrencilerin gerçek hayatta kullanabilecekleri matematiksel bilgi ve matematiksel düşünme becerisine sahip olabilmeleri için nasıl bir matematik eğitimi yapılmalıdır?” sorusu ve geleneksel yöntemlerin ve problem çözme etkinliklerinin öğrencilerin problem çözme becerisini geliştirmede yetersizliği kaygısıdır (Lesh ve Doerr, 2003a). Bu durumda matematiksel modelleme etkinlikleri, rutin olmayan, açık uçlu ve geleneksel sözel problem özellikleri taşımakla birlikte bütün bu sınıflandırmaları içine alan daha geniş bir kavramdır. Geleneksel sözel problemlerde olan öğrenciyi yönlendirecek anahtar kelimelerin ve hazır kalıpların olmaması, açık uçlu olması ve tek bir doğru cevabının ve çözüm yolunun olmaması modelleme etkinliklerinin önemli özellikleridir. Matematiksel modelleme sürecinde verilenleri kullanarak bir çözüme ulaşma, çözümü gerçek hayat durumuyla karşılaştırma, eğer yeterli değilse çözümü geliştirme veya daha farklı bir çözüm geliştirme gibi birden fazla döngü vardır. Matematiksel modelleme sürecinde bahsedilen modelleme döngüsü, yani modellemenin döngü içeren bir süreç olduğu fikri, modelleme yaklaşımlarında gözlemlenen ortak fikir olarak karşımıza çıkmaktadır (Zbiek ve Conner, 2006).
Matematiksel modellemeye getirilen farklı yaklaşımlar incelendiğinde, modellemenin matematik eğitiminde yapılandırmacı ve sosyal yapılandırmacı yaklaşımlarla ortak noktaları dikkat çekmektedir. Modelleme sürecinde öğrencinin çözüm bulması, çözümü test etmesi ve alternatif çözüm üretmesi döngüsünde aktif rol alması ve sürecin sonunda bir matematiksel model geliştirmesi yapılandırmacı anlayışın bireyin zihinsel gelişim sürecini merkeze alan yaklaşımını yansıtmaktadır (Lesh ve Doerr, 2003b; Lesh ve Lehrer, 2003; Lingefjard, 2006). Ayrıca farklı modelleme yaklaşımları gerçek hayat bağlamı ortak paydasında buluşmaktadırlar. Fakat gerçek hayat durumunun ne derece idealleştirilmiş veya ne derece otantik olduğu farklı yaklaşımların ayrılma noktasıdır (Niss ve diğerleri, 2007).
Diğer yandan modelleme etkinliklerinin grup çalışması olarak yapılması gerektiği farklı modelleme yaklaşımlarının buluştuğu bir diğer ortak noktadır ve grup çalışması matematik eğitiminde modellemenin önemli unsurlarındandır (Zawojewski, Lesh ve English, 2003). Matematiksel modelleme süreci, grup çalışması olarak gerçekleştirilmesi ile de bilişsel, sosyal ve duyuşsal fazların etkileşimini içermektedir. Zawojewski ve arkadaşlarına (2003) göre geleneksel matematik problem çözme aktivitelerinde, çözülmesi beklenen bir matematiksel (nümerik) sonuç olduğu için paylaşılmaya ihtiyaç yoktur ve bu nedenle sosyal yönü çok zayıftır. Ancak matematiksel modelleme etkinliklerinde model oluşturma ve modeli genelleme ilkeleri, geliştirilen bir modelin paylaşılabilir ve tekrar kullanılabilir olmasını sağlamaktadır. Modelleme etkinliklerinde grup çalışma sürecinde her bir öğrenci kendi dış temsilleriyle problemi yorumlamakta ve bu yorumlar grupça tartışılmaktadır. Her bir bireyin ortaya attığı model tartışılıp, değerlendirildikten sonra en uygun model oluşturulmaktadır. Oluşturulan model başkaları tarafından kullanılacağından, öğrenciler her bir süreci, yöntemi ve stratejiyi açıklamak durumundadır (Zawojewski ve diğerleri, 2003). Burada yine grup çalışmasında grup üyelerinin birbirlerini değerlendirmesiyle öğretmen tek değerlendirme kaynağı olmaktan çıkmakta olduğu söylenebilir. Burada grup tartışması sürecinde grup üyelerinin iletişim becerilerini geliştirme zorunluluğu ortaya çıkmaktadır.